Urteil Bundesgericht

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :

1. Le recours est admis. L'arrêt du 12 septembre 2023 du Tribunal administratif du canton de Berne est annulé et la cause lui est renvoyée, afin qu'il statue sur le fond du recours formé devant lui à l'encontre de la décision sur recours du 21 juin 2023 de la Direction de la santé.

2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.

3. Une indemnité de 1500 fr., allouée à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Berne.

4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Direction de la santé, des affaires sociales et de l'intégration et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française.

Lausanne, le 8 mars 2024

Au nom de la Ile Cour de droit public du Tribunal fédéral suisse

La Présidente : F. Aubry Girardin

La Greffière : E. Jolidon