Récusation.

1.

Interjeté dans les formes et délai légaux, le recours est recevable (art. 319-321 CPC).

2.

Le recourant commence par indiquer que ses griefs ne visent pas une personne mais une « structure décisionnelle » qui compromet « l’apparence d’impartialité ». Il relève en particulier que la décision attaquée – tranchant la question de la récusation du juge C.________ – a été rendue par le juge D.________ (dans la procédure PSIM.2025.111), que ce dernier magistrat avait, dans la même cause, déjà rendu des décisions sur mesures superprovisionnelles (le 29.04.2025) et provisionnelles (le 12.05.2025). Il ajoute que le juge C.________ a déjà ratifié la convention du 14 mai 2024 dont « les effets sont invoqués dans le contentieux actuel » et que ce juge n’est donc pas « extérieur » à « l’histoire procédurale » le concernant. Le recourant place sa critique sous deux angles différents : premièrement, sous le libellé « APPARENCE OBJECTIVE : CUMUL FONCTIONNEL (D.________) », il conteste la compétence du juge D.________ et demande que sa requête de récusation soit examinée par une (autre) autorité « présentant la distance procédurale requise ». Secondement, sous le libellé « APPARENCE OBJECTIVE : ENGAGEMENT ANTÉRIEUR (C.________) », il requiert « subsidiairement » la récusation du juge C.________.

3.

En vertu de l’article 50 al. 1 CPC, si le motif de récusation invoqué est contesté, le tribunal statue (al. 1). La décision peut faire l’objet d’un recours (al. 2).

Selon l’article 4 LI-CPC (RSN.251.1), la partie qui entend obtenir la récusation d’un juge en fait la demande à la section concernée du Tribunal d’instance (al. 1). Si le juge admet le bien-fondé de la demande, il se récuse (al. 2). Si l’intéressé conteste la demande, celle-ci est transmise à un autre membre du même tribunal, qui statue et désigne le cas échéant celui qui le remplace (al. 3).

En vertu de l’article 47 al. 1 let. b CPC, les magistrats et les fonctionnaires judiciaires se récusent s’ils ont agi dans la même cause à un autre titre, notamment comme membre d’une autorité, comme conseil juridique d’une partie, comme expert, comme témoin ou comme médiateur.

Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, le fait qu’un magistrat ait déjà agi dans une (même) cause peut éveiller un soupçon de partialité. Le cumul des fonctions n’est admissible que si le magistrat, en participant à des décisions antérieures relatives à la même affaire, n’a pas déjà pris position au sujet de certaines questions de manière telle qu’il ne semble plus à l’avenir exempt de préjugés et que, par conséquent, le sort du procès paraît déjà scellé. Pour en juger, il faut tenir compte des faits, des particularités procédurales ainsi que des questions concrètes soulevées au cours des différents stades de la procédure (Tappy, in CR CPC, 2019, n. 19 ad art. 47 et les arrêts cités).

4.

En l’espèce, le fait que le juge D.________ ait déjà rendu des ordonnances de mesures superprovisionnelles (le 29.04.2025) et provisionnelles (le 12.05.2025) ne fait pas de lui un magistrat intervenant dans la même cause au sens de l’article 47 al. 1 let. b CPC au moment où il doit se prononcer sur la requête de récusation visant le juge C.________. En effet, en participant à des décision antérieures (sur mesures superprovisionnelles et provisionnelles), il a pris position sur des questions n’ayant aucun rapport avec la problématique de la récusation qui lui a été soumise. Son intervention dans ces procédures antérieures ne pouvait en aucun cas entraîner des préjugés au sujet de la question – distincte – de la récusation.

Le grief est infondé.

5.

Concernant la conclusion (subsidiaire) visant la récusation du juge C.________, il faut constater d’emblée que l’affaire dont ce magistrat s’est occupé (suite à la demande en protection de la personnalité fondée sur les articles 28b et 28c CC [mesures d’éloignement, interdiction de contact, de publier sur les réseaux sociaux et surveillance électronique] ; dossier PSIM.2025.111) est une cause distincte de celle dont il a été saisi à l’époque, dans laquelle il a été amené à ratifier la convention du 14 mai 2024 précitée (portant sur l’attribution du jugement, la garde de l’enfant, le droit de visite du père et la contribution d’entretien à verser par celui-ci). L’identité des parties dans ces deux affaires n’y change rien.

En vertu de l’article 47 al. 1 let. b CPC, la récusation du juge C.________ ne se justifie pas.

6.

S’agissant enfin de la requête visant l’octroi d’une « provision procédurale », celle-ci est dénuée de tout fondement, faute de base légale, et elle sera rejetée dans la mesure dans sa recevabilité (cf. déjà à cet égard la décision du président de l’ARMC du 12.02.2026).

7.

Il résulte des considérations qui précèdent que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.

On peut admettre, à la lecture des allégations du recourant, ainsi que des pièces produites à l’appui de celles-ci, que l’intéressé ne dispose pas des ressources suffisantes pour financer la procédure de recours (art. 117 let. a CPC). L’assistance judiciaire ne peut toutefois être octroyée au recourant que si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (art. 117 let. b CPC ; art. 29 al. 3 Cst. féd.). Il résulte en l’occurrence des considérations qui précèdent que cette condition n’est en l’espèce pas remplie. L’une des conditions (cumulatives) posées à l’article 117 CPC n’étant pas réalisée, la requête d’assistance judiciaire déposée par le recourant doit être rejetée.

Le recourant supportera les frais de la procédure de recours, arrêtés à 450 francs.

Il n’est pas alloué de dépens à l’intimée, qui ne s’est pas déterminée.